連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法及存在問題分析
文章深入分析國內(nèi)外連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的研究現(xiàn)狀,介紹了拓撲優(yōu)化方法的發(fā)展及實現(xiàn)過程中存在的問題。對比分析了均勻化方法,漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法,變密度法的優(yōu)缺點。研究了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化過程中產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象的原因,重點討論了灰度單元,棋盤格式,網(wǎng)格依賴性的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象,并針對每一種數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象提出了相應的解決辦法。
結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計的主要對象是連續(xù)體結(jié)構(gòu),1981年程耿東和Olhof在研究中指出:為了得到實心彈性薄板材料分布的全局最優(yōu)解,必須擴大設計空間,得到由無限細肋增強的板設計。此研究被認為是近現(xiàn)代連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的先驅(qū)。
目前,國內(nèi)外學者對結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題進行了大量研究,這些研究大多數(shù)建立在有限元法結(jié)構(gòu)分析的基礎上,但由于有限元法中單元網(wǎng)格的存在,結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化過程中常常出現(xiàn)如灰度單元,網(wǎng)格依賴性和棋盤格等數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象。本文介紹了幾種連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法及每種方法存在的問題,并提出了相應的解決辦法。
1.拓撲優(yōu)化方法
連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化開始于1988年Bendoe和Kikuchi提出的均勻化方法,此后許多學者相繼提出了漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法、變密度法等拓撲優(yōu)化數(shù)學建模方法。
1.1.均勻化方法
均勻化方法即在設計區(qū)域內(nèi)構(gòu)造周期性分布的微結(jié)構(gòu),這些微結(jié)構(gòu)是由同一種各向同性材料實體和孔洞復合而成。采用有限元方法進行分析,在每個單元內(nèi)構(gòu)造不同尺寸的微結(jié)構(gòu),微結(jié)構(gòu)的尺寸和方向為拓撲優(yōu)化設計變量。1988年Bendsoe研究發(fā)現(xiàn),通過在結(jié)構(gòu)中引入具有空洞微結(jié)構(gòu)的材料模型,將困難的拓撲設計問題轉(zhuǎn)換為相對簡單的材料微結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化問題。
很多學者發(fā)展了均勻化方法,Suzhk進行了基于均勻化方法結(jié)構(gòu)形狀和拓撲優(yōu)化協(xié)同設計。Hassani等全面系統(tǒng)的總結(jié)了基于均勻化理論的拓撲優(yōu)化理論和算法。該方法的優(yōu)點:數(shù)學理論嚴謹,在理解拓撲優(yōu)化的理論框架方面有重要的意義。缺點:(1)均勻化彈性張量的求解操作繁瑣,內(nèi)部微結(jié)構(gòu)的形狀和方向難以確定。(2)計算結(jié)果容易產(chǎn)生棋盤格和多孔材料等數(shù)值不穩(wěn)定性問題,可制造性差。
1.2.漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法
漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化的設計理論與方法,是由謝億民于1993年提出的,主要用于連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計問題。ESO方法通過逐漸將無效或低效的材料刪除,實現(xiàn)連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化,避免了多變量數(shù)學規(guī)劃求解問題。ESO方法中主要有三種方法刪除無效或低效單元。
近年來ESO由于突出的優(yōu)點而得到迅速的發(fā)展,同時存在的問題也不容忽視。主要優(yōu)點有:不僅可以解決各類結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化,還可以實現(xiàn)形狀和拓撲優(yōu)化;拓撲形式清晰,迭代過程在計算機上實現(xiàn),可以對有限元分析結(jié)果進行后處理近似得到靈敏度值,且在優(yōu)化過程中避免二次劃分網(wǎng)格問題。缺點是:迭代次數(shù)較多,計算效率較低,且通用性、數(shù)值穩(wěn)定性差。
1.3.變密度法。
密度法是人為假定單元的密度和材料物理屬性之間的某種對應關(guān)系,以連續(xù)變量的密度函數(shù)形式表達這種對應關(guān)系。變密度法是基于各向同性材料,以每個單元的相對密度作為設計變量,將結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為材料最優(yōu)分布設計問題,應用優(yōu)化準則法或數(shù)學規(guī)化方法來求解材料最優(yōu)分布設計。
1999年Sigrnund等證實了該方法物理意義的存在性。變密度法主要優(yōu)點有:設計變量少;程序?qū)崿F(xiàn)簡單;以結(jié)構(gòu)重量為目標,不存在多目標問題。不足有:(1)優(yōu)化過程中存在相對密度在[0,1]之間單元。對于中間密度的單元,是否刪除就變得難以抉擇;(2)以柔度最小為優(yōu)化目標,在解決含有強度和剛度約束的優(yōu)化問題時不夠方便。
2.拓撲優(yōu)化中數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象及其解決方法
2.1.灰度單元
灰度單元是在優(yōu)化結(jié)構(gòu)中大量存在密度介于0-l之間的單元,導致優(yōu)化結(jié)果難以確切的給出拓撲構(gòu)型,從而使優(yōu)化結(jié)果難以在工程實際中應用。存在灰度單元的根本原因是連續(xù)模型同原離散模型的逼近問題,灰度單元主要存在于SIMP等變密度法中,兩種主要解決辦法:(1)加大SIMP模型中的懲罰因子,隨著懲罰因子的增大,使設計變量的值越來越接近于拓撲優(yōu)化特征函數(shù)期望的值。(2)濾波半徑過大會產(chǎn)生灰度單元,合理確定濾波半徑的值,可以抑制灰度單元的生成。
2.2.棋盤格式
棋盤格式是指結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中單元材質(zhì)密度周期性高低分布,拓撲呈現(xiàn)為黑白相間,如同棋盤。Bendsoe認為,棋盤格式的出現(xiàn)與優(yōu)化問題解的存在性以及有限元近似的收斂性密切相關(guān),是連續(xù)問題的解以弱收斂方式逼近原離散問題的真實解時出現(xiàn)的一種現(xiàn)象。為了獲得清晰的圖形,一些解決的方法如:(1)靈敏度過濾技術(shù)(2)采用較為穩(wěn)定的有限元模式,改變優(yōu)化目標函數(shù)的泛函,使優(yōu)化過程趨于順暢。(3)Kikuchi等提出使用“超參元”,可以在一定程度上抑制棋盤格。
2.3.網(wǎng)格依賴性
網(wǎng)格依賴性是指拓撲優(yōu)化計算結(jié)果與計算區(qū)域的網(wǎng)格密度有關(guān),選擇不同的網(wǎng)格密度,可能會產(chǎn)生不同的優(yōu)化結(jié)果,且隨著網(wǎng)格的剖分密度增加,優(yōu)化結(jié)果的幾何復雜性增加,幾何尺寸逐步減小。網(wǎng)格依賴性使得計算結(jié)果的可制造性下降。
文章對拓撲優(yōu)化的方法、優(yōu)化時存在的問題及解決問題辦法進行了分析。通過分析可知拓撲優(yōu)化設計的理論和技術(shù)需要進一步的發(fā)展。在應用研究中不斷拓展和延伸優(yōu)化研究的廣度和深度,將是拓撲優(yōu)化研究工作的必然發(fā)展方向。